为什么我们使用 10 进制，而不使用 11 进制?
Pulcherrima，エエエエエエエエエエエエエエ 查看知乎原文 11 进制有何不可？ 11 作为素数，意味这种进制有许多特别的性质（比十进制好得多） 我们将切身体会一下，使用 11 进制感受初等数论的各种方法和定理 注：11 进制中，1 到 9 分别表示十进制中的 1 到 9，X=9+1，即 X 表示十进制中的 1…
11 进制有何不可？
11 作为素数，意味这种进制有许多特别的性质（比十进制好得多）
我们将切身体会一下，使用 11 进制感受初等数论的各种方法和定理
注：11 进制中，1 到 9 分别表示十进制中的 1 到 9，X=9+1，即 X 表示十进制中的 10.
请忘记十进制！！！下面的所有数字都是 11 进制下的！！！
我们进入 11 进制的世界吧
（1）Arithmetic（算术）
加法和减法是不必说的，直接来看乘法
小学二年级大家就被要求背诵乘法口诀表
图中就是完整的“XX 乘法表”，当然，因为有乘法交换律，小学生们只需要背诵一半
这里的乘法表可方便记忆了，因为每行、每列的个位数字都是 1 到 X 的一个排列
只认识 11 进制的小学生们认为这是理所当然的事情
事实上，这是因为「10」是素数，导致 1 到 X 都与「10」互素，所以构成缩系
大家最喜欢的是乘法表里面最大的「XX91」，具体是什么原因也不知道。。。
（2）Factors and Multiples （因数与倍数）
11 进制中，看个位是确定不了 2 的倍数的，所以很长一段时间没有出现奇数和偶数的概念
后来人们发现，10=X+1，X=2*5. 所以，一个数模 2，5，X 同余于它的数字和
特别的，判断是否为 2，5，X 的倍数，只需要看数字和就可以了
比如这个数：1145141919810
数字和是 41，再做一遍数字和变成 5. 所以是 5 的倍数，不是 2 的倍数，不是 10 的倍数
小学奥数课上，通过简单的同余运算，大家还学到了：
判定模 3，4，6，8，11，14，19 都可以使用“两位一段”的方法
判定模 7，13，18 可以使用“三位一段”的方法
比如 1141541919810，两位一段变成 1｜14｜51｜41｜91｜98｜10，只需计算 1+14+51+41+91+98+10
（3）Exponential Congruence (指数同余式）
人们轻而易举地发现了这个事实：
如果
的个位不是
，那么
的个位是
更一般地，如果
的个位不是
，那么
的末
位数字是
后来数学家把它推广到任意素数进制的情况，把它命名为“费牛小定理”
人们对数的幂次的个位数字很感兴趣：
2 的幂次的个位每 X 个为一个最小周期，一个周期内的数为
,恰好是 1 到 X 的一个排列！
更有数学家枚举到了
，发现
到
的末两位数字也恰好是是
到
除去个位为 0 的所有数的一个排列！
人们猜测，这个性质普遍成立，“原根”概念的提出，给出一个解释：
因为 2 是模奇素数 10 的原根，且
，所以 2 也是模
的原根.
（4） Fractions vs Decimals（非整数的表示）
由于在 11 进制下，任取两个整数相除，大概率是除不尽的，所以人们总是习惯于分数的表示
但是循环小数性质也很好，有类似“走马灯数”：
，
也有乘 2 的幂次封闭的“走马灯数”：
，
，
这是两个耳熟能详的无理数：
π ≈ 3.16150702865X48523517
e ≈ 2.79X04008X9X1X054412X
（5）Factorials and Binomial Coefficients（阶乘和组合数）
这是一道小学奥数题：
的末尾有多少个
？
如果你接熟悉Legendre公式，这会变得很简单
(其中
表示
的数字和）
在某个臭名昭著的 homo 竞赛中，有这道题：
的个位数字是什么
使用Lucas定理就可以知道，它的个位数字就是
的个位数字
而
，所以它的个位就是 0
这时就有人问了，它的末尾有多少个 0？
事实上，运用Legendre公式可以得到Kummer定理：
列一个竖式，发现进了 2 次位，所以
的末尾有 2 个 0
总之，这个使用 11 进制的文明在数学竞赛上会高度发达。。。
ps. 无聊搞了个电话簿既视感
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